PythonJiří ZnamenáčekNumPy – operace s polemi2017-04-23
Operace s (vícerozměrnými) poli (tedy objekty typu ndarray) v NumPy jsou velmi důležité a také velmi rozmanité. Ruku v ruce s výřezy máme k dispozici velmi početnou armádu metod, které slouží k úpravě již existujících polí/matic a výběru nějakých jejich podmnožin.
V dalším si ukážeme pár základních příkladů na práci s numpyovskými polemi, ale jako vždy – knihovna Numpy je příliš rozsáhlá, abychom zde probrali všechno, a navíc v žádném případě nemůžu tvrdit, že bych ji vůbec nějak ovládal…
PS: V příkladech budu používat modul numpy naimportovaný podle zvyku jako:
import numpy as np
Jak už jsem zmiňoval v přehledové přednášce, unární a binární operace nad poli jsou v základu prováděny „po složkách“:
# základní pole
>>> a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# mínus pole
>>> -a
array([[-1, -2, -3],
[-4, -5, -6]])
# násobení pole skalárem
>>> 3 * a
array([[ 3, 6, 9],
[12, 15, 18]])
# sčítání polí
>>> a + a
array([[ 2, 4, 6],
[ 8, 10, 12]])
Zatímco u násobení pole skalárem a sčítání či odčítání polí (stejného tvaru) to nikoho nepřekvapí, takové násobení už nemá s maticovým vůbec nic společného a musíte na to při práci pamatovat:
>>> a * a
array([[ 1, 4, 9],
[16, 25, 36]])
Se skaláry se dá nepřekvapivě „vyřádit“ mnohem více:
>>> a = np.array([1, 2, 0, 4])
>>> b = np.array([1, 2, 3, 4])
# srovnání polí
>>> np.array_equal(a, b)
False
# redukce pole podle pravdivostní hodnoty prvků
>>> np.all(a)
False
>>> np.any(a)
True
Operace se dají dohromady poskládat do výrazně složitějších výroků:
>>> a = np.array([1, 2, 3, 2])
>>> b = np.array([2, 2, 3, 2])
>>> c = np.array([6, 4, 4, 5])
>>> ((a <= b) & (b <= c)).all()
True
# Protože:
>>> a <= b
array([ True, True, True, True])
>>> b <= c
array([ True, True, True, True])
>>> (a <= b) & (b <= c)
array([ True, True, True, True])
Numpy obsahuje kromě základních matematických konstant..
..i spoustu matematických metod. Mezi ty patří jak klasické funkce (trigonometrické funkce, transcendetní funkce…), tak také armáda funkcí specializovaných na konkrétní výpočetní oblast (lineární algebra, Fourierova transformace…).
V rámci Numpy se jim říká univerzální funkce (tzv. ufunc) a jedná se o – typicky vektorizované – funkce operující nad poli metodou „prvek po prvku“ a splňující jisté základní požadavky (jako třebas broadcasting a typovou konverzi v závislosti na vstupech a výstupech).
# „běžná“ matematika
>>> x = np.array([0, np.pi / 2, np.pi])
>>> x
array([0. , 1.57079633, 3.14159265])
>>> np.sin(x)
array([0.0000000e+00, 1.0000000e+00, 1.2246468e-16])
>>> np.log(x)
__main__:1: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
array([ -inf, 0.45158271, 1.14472989])
>>> np.log(0)
-inf
# lineární algebra
>>> np.linalg.inv([[1, 1], [1, 0]])
array([[ 0., 1.],
[ 1., -1.]])
# komplexní čísla
>>> np.conjugate(1+2j)
(1-2j)
# mnohočleny
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
# (x-1)(x-2)(x-3)
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
# x^3 - 6x^2 + 11x - 6 (ale v opačném pořadí!)
>>> p
Polynomial([-6., 11., -6., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.])
Už jsem zmiňoval, že knihovna Numpy je obrovská (a navíc často pěkně zmatená), ale přesto si ještě pár dalších základních operací ukážeme.
Především půjde o další redukující operace, které převádí vstupní pole na jeden výstupní prvek (jako jsou sumace, extrémy či základní statistické ukazatele).
Při redukci sčítáním si především můžete vybrat, zda sečtete všechny prvky dohromady, nebo zda provedete sčítání prvků pouze po vybraných osách:
>>> x = np.array([[1,2], [3,4]])
>>> x
array([[1, 2],
[3, 4]])
# celkové sčítání
>>> np.sum(x)
10
# sčítání po osách
>>> np.sum(x, axis=0)
array([4, 6])
>>> np.sum(x, axis=1)
array([3, 7])
Za zmínku stojí též funkce cumsum() pro kumulativní sčítání nejen ve vybrané ose:
Stejně jako u redukce sčítáním, hledání extrémů může probíhat přes celé pole nebo jen ve vybraných osách:
>>> x = np.array([[1,2], [3,4]])
>>> x
array([[1, 2],
[3, 4]])
# maximum přes celé pole a jeho index
>>> np.max(x)
4
>>> np.argmax(x)
3
# maximum po osách
>>> np.max(x, axis=0)
array([3, 4])
>>> np.max(x, axis=1)
array([2, 4])
A podobně samozřejmě i pro min() a argmin().
Prvky v polích je samozřejmě též možno i řadit, a to buď klasicky podle jejich hodnot..
>>> a = np.array([[4, 3, 5], [1, 2, 1]])
>>> a
array([[4, 3, 5],
[1, 2, 1]])
# výchozí řazení po řádcích
>>> np.sort(a)
array([[3, 4, 5],
[1, 1, 2]])
# vnucené řazení podle jiné osy (zde po sloupcích)
>>> np.sort(a, axis=0)
array([[1, 2, 1],
[4, 3, 5]])
Také můžete zavolat metodu sort() přímo na poli, ale pak proběhne řazení v místě (tj. ono pole bude mít seřazené prvky a originál ztratíte).
..nebo kapku neklasicky pomocí jejich indexů (ať už je získáte odkudkoli; zde z toho samého pole):
# vstupní pole k seřazení
>>> a = np.array([4, 3, 1, 2])
# indexy seřazených prvků
>>> j = np.argsort(a)
>>> j
array([2, 3, 1, 0])
# výpis seřazených prvků podle jejich indexů
>>> a[j]
array([1, 2, 3, 4])
Statistika je samozřejmě velmi rozsáhlá oblast, tak jen drobná ochutnávka:
>>> x = np.array([1, 2, 3, 1])
# průměr
>>> x.mean()
1.75
# medián
>>> np.median(x)
1.5
# standardní deviace
>>> x.std()
0.82915619758885
Za zapamatování stojí především „klasická“ numpyovská nekonzistence ve volání dostupných metod…
Pro zajímavost komplexnější příklad z dokumentace – výpočet Mandelbrotovy množiny ne úplně triviálním postupem:
